martes, 10 de marzo de 2015

Fundamento

Una transformación Geométrica es una aplicación de un espacio en otro, es un método para pasar de unos puntos a otros.

Una proyección central es aquella transformación del espacio en un plano (llamado plano de cuadro o plano de proyección) desde un punto (llamado centro de proyección o punto de vista enperspectiva).
El punto desde el que se hace la proyección se le llama centro de proyección y el plano sobre el que se proyectan los elementos se denomina plano de cuadro.
Una proyección central es también una homología espacial en la que existe un plano de cuadro (uno de los planos de la homología) coincidente con el plano del dibujo. La proyección central es una transformación que conserva la razón doble.
 Si tenemos un plano y un punto exterior en el espacio  distinto del centro de proyección, la proyección central lo transforma en un punto del plano de proyección.
Para calcular la proyección central de un punto lo unimos con el centro de proyección, la intersección de la recta que definen ambos puntos con el plano de proyección es el punto buscado.
Si el punto que queremos representar está sobre el plano de proyección, la proyección de éste coincide con si mismo y es por tanto un punto doble. Un punto es doble por tanto cuando el punto se transforma en sí mismo. Si una figura tiene sus puntos dobles decimos que es invariante.Son también rectas dobles las que pasan por el centro de proyección (rayos visuales en perspectiva), pero no sus puntos.
 Si construimos una recta perpendicular al plano desde el centro de proyección tenemos en la intersección con el plano del cuadro el punto principal, todos los puntos de esta recta se proyectan sobre el mismo punto del plano de proyección.
Si tomamos una recta y la proyectamos sobre el plano de proyección desde el centro de proyección, obtenemos su proyección central o perspectiva, intersección del plano que definen ambos elementos (el centro de proyección y la recta) con el plano del cuadro.
Las rectas cortan al plano de proyección en un punto al que denominamos traza.
 Si hacemos una recta paralela a la recta que queremos representar por el centro de proyección obtenemos en la intersección con el plano de proyección el punto límite de esta recta u homólogo del punto del infinito de la recta.
Toda recta queda perfectamente definida con 2 puntos: su traza y su punto límite o también denominado punto de fuga o de desvanecimiento.
La representación del plano queda definida por dos rectas, una es la traza o intersección con el plano de proyección y la otra es la recta límite obtenida al hacer por el centro de proyección un plano paralelo al dado y calcular su intersección con el plano de proyección.
Si restringimos la proyección central a una esfera que se apoya sobre un plano de proyección tomando el centro de proyección como polo opuesto al punto de tangencia donde se apoya la esfera tenemos una proyección central llamada estereográfica. La proyección central con un plano de cuadro curvo es una perspectiva curvilínea. La proyección estereográfica es análoga a lainversión en el espacio de una esfera en un plano, curiosamente es una proyección también central aunque conserva los ángulos, por lo que se llama transformación conforme.
La posición del centro de proyección respecto al plano de proyección queda definido al igual que en la proyección gnomónica por la distancia al plano del cuadro. Ésta distancia queda definida sobre el plano del cuadro con un círculo llamado de distancia, cuyo radio es la distancia entre el centro de proyección y el plano del cuadro, esto es, la distancia del punto de vista o centro de proyección al punto principal.


La relación entre la proyección central, la perspectiva cónica y la homología espacial.
La proyección central es la perspectiva cónica clásica, con la salvedad de que se libera de todos las restricciones de la misma: no representa sólo lo percibido detrás del plano del cuadro o plano de proyección  sino que representa lo que está detrás o delante del mismo, incluso detrás del centro de proyección cuyo punto análogo en la perspectiva es el punto de vista.
Cuando representa un plano por regla general es oblicuo al plano de proyección o plano de cuadro, no sucede como en la perspectiva cónica que el plano del suelo donde se apoya el observador o plano geometral es perpendicular al plano del cuadro.
Si cogemos un dibujo en perspectiva cónica y lo giramos de manera que se ve el dibujo del plano del cuadro junto con la figura que representa, además del punto de vista y los elementos perspectivos alineados con el centro de proyección estaremos representando una perspectiva de la perspectiva, estaremos representando la relación que existe entre la perspectiva o proyección central de una figura y la figura que representa, estaremos haciendo una homología espacial.

En consecuencia tenemos tres ámbitos perfectamente interrelacionados, una perspectiva cónica que representa un elemento del espacio proyectando desde un punto sobre un plano y bajo ciertas restricciones, por ejemplo que el ángulo del cono visual sea de unos 60° para evitar posibles distorsiones laterales o anamorfosis, que el observador esté situado frente al plano del cuadro representando lo que se ve detrás de él, que la altura del observador está definida por la distancia del punto principal -o proyección ortogonal del punto de vista sobre el cuadro- hasta el plano del suelo o plano geometral, que el plano del cuadro y del suelo o geometral formen 90º entre sí.
Una generalización de la perspectiva cónica la tenemos concretada en la proyección central que transforma cualquier elemento del espacio en un elemento del plano de proyección desde un punto exterior al mismo.
Como una mayor generalización de esto tenemos el caso de la homología espacial que representa una perspectiva del objeto, sea cilíndrica o cónica, su proyección sobre el plano del cuadro y el centro de proyección que asocia cada punto de la figura con su perspectiva. En el caso de la homología el plano del cuadro no coincide necesariamente con el plano del papel aunque puede hacerlo. La homología es la perspectiva de la perspectiva, la perspectiva en la que aparece siempre además de la figura, el plano de proyección con su figura transformada sobre él y el punto de vista o centro de proyección.

Elementos


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El  punto
La proyección de un punto sobre el plano del cuadro es la intersección de la recta que pasa por este punto y por el centro de proyección, con el plano del cuadro. Como todos los puntos de esta recta tienen la misma proyección, es necesario definir el punto mediante otra recta, o bien sobre una recta que no pase por el centro de proyección.

La recta
Si la recta pasa por el centro de proyección, su proyección central es un punto y tanto su traza como su punto límite o punto de fuga son coincidentes. Si la recta es paralela al plano de proyección, su proyección central es una recta cuya traza está en el infinito y cuyo punto límite está sobre  la recta del infinito del plano de proyección.
Para representar la recta hacemos otra paralela por el centro de proyección obteniendo en la intersección con el plano de proyección un punto llamado límite. El otro punto que determina la recta es aquel que corta al plano de proyección en un punto denominado traza. La recta queda definida por tanto por estos dos puntos, el punto llamado traza y el llamado límite.
Las rectas paralelas tienen siempre el mismo punto límite o punto de fuga, siendo sus trazas diferentes. Si ambas rectas tienen la misma traza y el mismo punto  límite decimos que son coincidentes. Si tienen sus dos proyecciones coincidentes pero las trazas en distinta posición, coincidiendo el mismo punto límite tenemos que son paralelas.


Los planos
Un plano corta al de proyección según una recta llamada traza, si hacemos un plano paralelo al anterior por el centro de proyección obtenemos en la intersección con el plano del cuadro una recta llamada límite. El plano queda definido en proyección central por estas dos rectas, la traza y la recta límite. La traza y recta límite de un plano son siempre paralelas o coincidentes pero nunca concurrentes en un punto.
Como caso particular tenemos el plano que pasa por el centro de proyección que tiene en consecuencia tanto su traza como su recta límite coincidentes. Los planos paralelos tienen siempre la misma recta límite y sus trazas distintas, si éstas son también coincidentes tenemos que los planos son coincidentes.
Si un plano es paralelo a una recta sus elementos límites son incidentes (el punto límite de la recta está en la recta límite del plano). Si una recta y un plano son incidentes, la traza de la recta incide en la traza del plano y el punto límite de la recta también incide en la recta límite del plano.




Punto




Un punto queda determinado cuando pertenece a una recta, puede estar en cualquier posición de la recta, no es necesario que esté comprendido entre la traza y el punto límite de la recta ya que la recta tiene una longitud infinita. 






Recta




Como sabemos en geometría una recta queda definida por dos puntos, no obstante en proyección central dos puntos cualesquiera no son suficientes para definir la recta. Por regla general la forma más sencilla de determinarla es por su traza y su recta límite, la primera es la intersección de la recta con el plano del cuadro mientras que el punto límite se obtiene en la intersección de otra recta paralela por el centro de proyección a la recta dada con el plano del cuadro. El punto límite es realmente el punto de fuga en cualquier perspectiva cónica, en proyección central el punto límite es análogo a un punto de fuga o un punto de desvanecimiento, que no es otra cosa que la imagen del punto del infinito de la recta.




plano



Un plano queda determinado por dos rectas, una recta llamada traza que es la intersección del plano con el plano de proyección y otra recta que es la intersección del plano de proyección con un plano paralelo al dado por el centro de proyección.
Se puede dar el caso de que el plano dado y el plano paralelo sean coincidentes por lo que ambas rectas, la traza y la recta límite también lo son y esto quiere decir que el plano dado pasa por el centro de proyección.





Círculo de distancia


En los ejercicios de proyección central donde es necesario utilizar un centro de proyección lo dejamos definido mediante un círculo de distancia, círculo definido por un radio cuya longitud es la distancia entre el punto principal y el punto de vista. El centro del círculo de distancia es el punto principal P o proyección ortogonal del punto de vista V o centro de proyección sobre el plano del cuadro.
Para una mayor claridad se ha representado este elemento en un perfil considerando el plano del cuadro como la línea roja CJ. Como podemos observar en el dibujo en perfil, es como una semiesfera cuyo centro de la misma es el punto principal (denominado P’ en esta proyección en el perfil) y cuyo polo opuesto ortogonal al plano del cuadro por P es el punto de vista V’ o centro de proyección de la proyección central.

Abatimientos

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Abatimiento del punto, la recta y el plano



Para abatir una recta a pasamos un plano cualquiera por ella (ejemplo  el plano beta),  tomamos el círculo de distancia CD y por su centro o punto principal P construimos dos rectas perpendiculares, una de ellas paralela a la recta límite. Ésta última recta corta al círculo de distancia en el punto de intersección de la circunferencia V’ , punto que unimos con la intersección C de la límite con la ortogonal por el punto principal P.
Unimos los puntos C V’ mediante un segmento  y lo tomamos como radio de un nuevo arco para el que tomamos centro en el punto C, donde éste arco corta a la recta PC obtenemos el punto de vista abatido V.
Unimos V  con el punto límite de la recta L’a y tenemos la dirección real de la misma V-L’a  sobre el plano. Haciendo por la traza de la recta Ta una recta paralela a esa dirección tenemos ya la recta abatida a’ (en color azul).
El plano beta que contiene a la recta corta al plano del cuadro según la traza, el ángulo que forman la traza del plano y la recta contenido en él es en realidad el que aparece en  el dibujo como 46,67grados, ya que el plano por debajo de la traza se considera abatido en verdadera forma mostrando así el ángulo que forma la traza del mismo con la recta a’.
Tenemos otro ángulo que define la dirección C-V’ con la línea CP, es el ángulo que forma el plano con el plano del cuadro, en este caso 59,75°, ya que esta dirección es realmente la dirección del plano en el perfil.
Cualquier punto M de la recta a tiene su transformado M’ en la intersección de la recta MV con la recta a’, de esta forma podremos saber la localización exacta del punto, su distancia a la traza del plano en verdadera forma que es la distancia de la traza del plano a M’, y la distancia exacta desde el punto a la traza de la recta Ta.

Paralelismo



planos paralelos





Si dos planos son paralelos su recta límite es coincidente y las trazas distintas.



recta paralela a un plano







Si una recta es paralela un plano, el punto límite de la recta está sobre la recta límite del plano mientras que la traza de la misma no pertenece a la traza del plano, ya que si así fuera la recta estaría contenida en el plano.




rectas paralelas





Rectas paralelas son aquellas que se cortan en el infinito, por tanto la proyección central de ambas serán dos rectas distintas con el punto  límite común.



rectas paralelas incidentes en distintos planos










rectas paralelas incidentes en un plano




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Intersección




El punto
Queda definido por la intersección de 2 rectas, por intersección de una recta y un plano o de tres planos no paralelos entre sí.



Intersección de dos planos
Para calcular la intersección de dos planos que no son paralelos se toma la intersección de las trazas y la intersección de las límites, por ambos puntos pasa la recta intersección de ambos planos.
Si los planos de los que se quiere calcular su intersección son paralelos tomamos un plano auxiliar cualquiera que corta a ambos según dos rectas, estas dos rectas se cortan en un punto. La recta intersección es una paralela a las trazas y límite de los planos dados que al mismo tiempo pasa por éste punto.



Intersección de dos rectas
Para construir dos rectas que se intersecan basta con hacer un plano que pasa por ellas, si efectivamente es posible pasar un plano por las rectas quiere decir que se cortan en un punto, pues dos rectas sobre un plano se cortan siempre, considerando que las paralelas se corten en la recta del infinito del plano.



Intersección de recta y un plano
 Pasamos un plano por la recta que corta al plano dado según otra recta y que corta a la anterior en el punto de intersección.






rectas que se cortan






Las rectas que se cortan tienen un punto en común y definen un plano ya que 2 puntos  determinan una recta y un punto exterior determinan con la recta el plano.
Por tanto para hacer dos rectas que se cortan dibujamos una recta con su traza y su punto límite y otra recta con su traza que unimos a la traza de la recta anterior. La dirección que definen estas dos trazas es la misma que la correspondiente a la recta límite, en consecuencia debemos pasar por el punto límite de la primera recta una paralela a la traza del plano hasta que corte a la segunda recta en el nuevo punto límite de la recta. Ambas rectas están sobre el plano porque tienen sus trazas sobre la traza del plano y sus puntos límites sobre la recta límite del plano.




rectas que no se cortan







En el espacio si dos rectas no se cortan quiere decir que se cruzan, que no tienen ningún punto en común. Para comprobar si dos rectas se cortan y por tanto determinan un plano podemos unir las trazas con una recta, si dibujamos una recta límite por un punto límite de las dos rectas y está recta incide en el otro punto límite ambas se cortaran, en caso contrario las rectas se cruzan.




intersección de recta y plano






Para calcular la intersección de una recta y un plano se pasa un plano por la recta, este plano corta al plano dado según otra recta que corta también a la recta dada según un punto, éste es el punto de intersección buscado.




intersección de 2 planos




Dos planos en el espacio se cortan siempre en una recta, ésta está definida por su traza y su punto límite. La traza de la recta es la intersección de las dos trazas de los planos y el punto límite es la intersección de las rectas límites de los planos.
Como caso particular tenemos planos paralelos que se cortan en infinito que tienen sus trazas paralelas y su recta límite coincidente. Otro caso posible es cuando los planos son coincidentes por lo que tienen su recta límite y su traza también coincidentes.


http://la-perspectiva-conica.blogspot.com.es/2010/11/intersecciones.html 
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/interseccion.html

Incidencias


Punto no perteneciente a un plano





Un punto A está en un plano alfa si pertenece a una recta de un plano.
En el espacio tenemos dos situaciones posibles, una recta que tenga 2  puntos en el plano y por lo tanto que pertenezca a él o una recta que tenga un punto en el y que  por lo tanto sea el de intersección con el plano. La posibilidad de que la recta sea paralela al plano entra dentro de este último caso ya que el punto del infinito de la recta pertenece a la recta del infinito del plano.
En el dibujo tenemos que el punto de fuga Fd de la recta  pasa por la recta límite l’ alfa  del plano, esto quiere decir que la recta y el plano son paralelos ya que la traza de la recta no pertenece a la traza del plano,  si así fuera sería una recta del plano y por tanto el punto estaría en la recta y en el plano.
 En este caso la traza está fuera de la traza del plano por lo que la recta corta al plano en un solo punto, en el infinito, en consecuencia el punto no pertenece al plano por estar en una recta que no pertenece al plano.




punto perteneciente a un plano




Un punto A pertenece a un plano cuando pertenece a una recta del plano, independientemente o no de que esté comprendido entre la traza Td y el punto límite Fd de la recta.








Recta perteneciente a un plano





Una recta pertenece a un plano cuando la traza de la misma está en la traza del plano y cuando el punto límite de la misma está en la recta límite del plano.









Dadas dos rectas (en color rojo y azul) y un par de puntos situados sobre cada una de las rectas, se pide determinar la recta que pasa por ambos. Los puntos de las rectas son A B, dibujamos por tanto la recta verde d que pasa por ambos puntos. Construimos entonces una recta amarilla paralela a la recta roja que por tanto definirá un plano amarillo cuyos puntos límites L’a L’c serán coincidentes y cuyas trazas Ta Tc definirán la traza del plano, teniendo por tanto la misma dirección para la recta límite que definirá el punto límite L’d de la recta verde. Si unimos los puntos límites de las rectas roja y azul tenemos la recta límite del plano rosa que tendrá su traza paralela por la traza Tb  de la recta azul definiendo asimismo también la traza Tc de la recta amarilla. 





Recta que pasa por 2 puntos


Perpendicularidad





Fundamento de la perpendicularidad






En el centro del dibujo tenemos la proyección central del círculo de distancia CD con su centro o punto principal P coincidente con el punto de vista V, una traza y recta límite de un plano (en color naranja denominado épsilon) y una recta perpendicular a’ en color verde.
A la derecha del dibujo tenemos los mismos elementos representados pero en una proyección en perfil, como si estuviéramos trabajando en el sistema diédrico, de esta forma tenemos las proyecciones ortogonales en una vista en perfil en la que se pueden ver las relaciones angulares de todos los elementos del espacio que aparecen en la proyección central.
En el perfil podemos observar un plano amarillo que tiene cierta pendiente, es el plano que hemos denominado épsilon, como vemos corta al plano del cuadro (línea JC) según  el punto D, que es por donde pasa la traza del plano: traza épsilon, perpendicular al plano del cuadro. Para obtener su recta límite hacemos por el punto de vista en el perfil V’ una recta paralela hasta que corta al plano del cuadro en H, por el que pasamos una línea paralela a la traza del plano que denominamos recta límite del plano: l’épsilon.
En el dibujo podemos comprobar la relación que existe entre la representación del plano y el perfil de la representación del mismo en proyección central, podemos observar también una recta cualquiera a perpendicular al plano (en el dibujo en color azul claro). Como podemos observar en el perfil la recta a es perpendicular al plano y corta al plano del cuadro en un punto denominado traza Ta.
Para obtener el punto de fuga o punto límite de la recta L’a  hacemos una paralela a la recta azul por el punto de vista V’ en el perfil, obteniendo de esta forma el punto límite de la recta L’a.  Si por éste punto hacemos una recta perpendicular al plano del cuadro en el perfil observaremos que el punto límite en la proyección central queda sobre la línea perpendicular a la recta límite del plano (límite de épsilon) que pasa por el punto principal P, denominado en el dibujo L’a. Éste es por tanto el punto de fuga de todas las rectas perpendiculares al plano amarillo, podemos mover la recta azul para comprobar que efectivamente el punto límite de la recta es invariable ya que al hacer por el punto de vista en el perfil  V’ una paralela a todas las rectas paralelas a ella obtenemos siempre el mismo punto de fuga o punto límite de la recta L’a1 en el perfil y L’a en la proyección central.
Podemos observar la condición de perpendicularidad si nos fijamos en el dibujo, al hacer las rectas tangentes al círculo CD de distancia desde el punto límite de la recta L’a obtenemos dos puntos OP de tangencia con la circunferencia, por estos puntos  pasa la recta polar cuya simétrica respecto al punto principal P es la recta límite del plano. De esta forma podemos decir que el punto límite L’a es el polo de la circunferencia respecto a la recta polar (en color negro). Si construimos la recta simétrica de la polar respecto al punto principal, tenemos que el punto límite de la recta pasa a ser el antipolo de esta recta l’ épsilon. En consecuencia la recta límite de un plano es la polar del antipolo de la recta.






Generalidades

Dos elementos son perpendiculares en proyección central si se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano. 


Recta perpendicular al plano: el punto límite de la recta perpendicular a un plano  es el antipolo de la límite del plano. El antipolo es el punto simétrico del polo respecto al punto principal, considerando la recta límite del plano como la polar. 


Para obtener un plano perpendicular a otro hacemos una recta perpendicular al plano y pasamos cualquier plano por esta recta. Todos los planos que pasan por esta recta son perpendiculares al anterior.
Dos planos son perpendiculares cuando la recta límite de un plano es la antipolar respecto a la límite de otro plano.





Recta perpendicular a un plano






Para construir una recta perpendicular a un plano dibujamos por el punto principal P una perpendicular a la recta límite del plano (en color azul) y a continuación otra perpendicular a ésta última (en color gris). La intersección de esta última recta con el círculo de distancia define el punto B por el que hacemos una recta perpendicular a la dirección AB. Esta recta perpendicular corta a la línea azul en el punto Fa. Este punto es el antipolo de la recta límite del plano y la recta límite es la antipolar, que no es otra cosa que la simétrica de la polar respecto al punto principal P.
Todas las rectas perpendiculares a este plano tiene su punto límite en Fa, tengan la dirección que tengan, esto quiere decir que cualquier recta que tenga por punto de fuga Fa va a ser siempre perpendicular al plano. Por ejemplo, en el dibujo la recta roja es perpendicular al plano, podemos mover la traza de la recta Ta y ponerla en cualquier posición que siempre será una recta perpendicular a ese plano por tener su punto límite o punto de fuga en Fa.




Plano perpendicular a un plano





En geometría tenemos un teorema que dice que si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano anterior. Basándonos en este detalle y en el ejercicio anterior, podemos pasar cualquier plano por la recta y tenemos que este plano es perpendicular al plano dado.
Por ejemplo en el dibujo tenemos que la recta roja es perpendicular al plano negro, hacemos un plano verde que pasa por la recta roja, esto quiere decir que su recta límite pasa por su punto límite o punto de fuga y que su traza pasa por la traza de la recta. Este plano por contener a la recta perpendicular al plano es también perpendicular al plano. Podemos mover la traza de la recta y vemos que el plano cambia en su posición, pero como sigue conteniendo a la recta siempre será un plano perpendicular al plano dado.




Recta perpendicular a una recta



En geometría tenemos un teorema general que dice que si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano (la recíproca no es cierta, son necesarias al menos 2 rectas no paralelas en el plano para que el plano sea perpendicular a la recta). En consecuencia basándonos en el primer ejercicio, tenemos una recta roja perpendicular al plano porque el punto límite de la misma se corresponde en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. La recta roja por tanto es perpendicular al plano negro y en consecuencias todas las rectas de este plano son perpendiculares a la recta roja, como por ejemplo la recta marrón m.









Recta c perpendicular a 2 líneas a b que se cruzan.




Tenemos dos rectas (en el dibujo en color rosa y el color azul, a, b, respectivamente). Se trata de calcular una recta perpendicular común en el dibujo en color naranja.
Como la recta es perpendicular a ambas, el punto límite de la misma será el antipolo de la recta polar que definen los puntos límites de las otras rectas. En consecuencia unimos los puntos límites L’a L’b con un segmento por el que hacemos una recta perpendicular desde el centro de la circunferencia A. Por este punto principal A hacemos una recta paralela a esta nueva límite obteniendo en la intersección con la circunferencia de distancia el punto C por el que hacemos una recta perpendicular a la recta Cd. Está recta perpendicular corta a la línea verde Ad en el punto L’c. Éste es el antipolo de la recta definida por los puntos límites de las rectas rosa y azul. Para obtener la traza de la recta haremos líneas paralelas a las dos direcciones de las nuevas rectas límites L’a L’b, obteniendo en la intersección de estas dos direcciones paralelas por Ta Tb el punto Tc. La recta Tc-L’c es la perpendicular común a ambas rectas.


Teoremas básicos de perpendicularidad en el espacio:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/perpendicularidad.html
http://la-perspectiva-conica.blogspot.com.es/2010/11/perpendicularidad.html

Ángulos



Ángulo entre dos rectas a b que se cruzan



Para calcular el ángulo entre dos rectas a b que se cruzan, se toma un punto C de una de ellas, por ejemplo de la recta a y se traza por C una recta c paralela a la otra b.
El ángulo que forman estas dos rectas ca es el ángulo que forman las rectas a b.
Como la recta c es paralela a la recta b tendrán el mismo punto límite L’b, y como la recta c corta a la recta a, determinan un plano que denominamos épsilon. El plano que contiene a ambas rectas pasa por los puntos límites de ambas L’a y L’b, esta recta límite del plano la denominamos límite épsilon.
Para obtener la traza Tc de la recta c hacemos por la traza Ta de la recta a una recta paralela a la recta límite del plano épsilon obteniendo en la intersección de esta recta con la recta c la traza Tc de la misma.
Para calcular el ángulo que forman las rectas c a, (que es el mismo que forman las rectas b y a), unimos el punto de vista abatido con los puntos límites de las rectas, el ángulo de estos dos segmentos es el ángulo que forman las rectas.

Ángulo entre 2 planos




Para calcular el ángulo entre dos planos hacemos la intersección de ambos y construimos un plano perpendicular a esta recta de intersección. Este plano perpendicular a los dos planos los corta según dos rectas que definen el ángulo entre los dos planos. Si abatimos ambas rectas tenemos el ángulo que forman las 2 rectas y por tanto el ángulo de los planos; por proyección gnomónica sabemos que es suficiente con unir el punto de vista abatido N con los dos puntos límites Fk Fg de las rectas, obteniendo de esta manera el ángulo real, en el dibujo de 27, 64°.
Tenemos los dos planos, uno de color rosa y el otro de color verde, la intersección es una recta violeta Ta Fa cuyo punto de fuga es el antipolo  de la nueva recta límite del plano perpendicular a ella, en color marrón. Calculamos la intersección del plano marrón con los dos planos dados verde y rosa y obtenemos las dos rectas de intersección azul y naranja. Los puntos límites de estas dos rectas unidos al punto de vista definen las dos líneas que determinan el ángulo entre ambas rectas que es por tanto el ángulo entre los dos planos.








Ángulo entre dos rectas que se cortan





Para calcular el ángulo entre dos rectas en verde y rosa, pasamos un plano marrón por ellas. El plano marrón contiene a las dos rectas en verde y rosa ya que las dos trazas  Td Tc de las rectas están sobre la traza del plano y los puntos de fuga Fc Fd de la rectas están sobre la recta límite del plano.
Tenemos el círculo de distancia definido por el radio AB, desde el punto principal A  hacemos una recta perpendicular AC a la recta límite del plano y por A hacemos otra recta perpendicular a la anterior, en el dibujo en color gris. Esta nueva recta corta al círculo de distancia en el punto D de la circunferencia. Unimos este punto con C  y tenemos que el radio CD del nuevo arco DF cuyo centro es C y que corta a la perpendicular a la recta límite en el punto F, es el punto de vista abatido. Unimos este punto de vista abatido F con los dos puntos límites o de fuga de las 2 rectas y tenemos directamente el ángulo que forman entre ellas, que en este caso es 93, 93.




http://los-angulos-en-la-circunferencia.blogspot.com.es/ 
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Ángulo entre recta a y plano beta





De forma genérica para calcular el ángulo que forma una recta y un plano se hace una recta perpendicular al plano desde un punto de la recta dada y en el punto de intersección con el plano se une con la intersección de la recta y el plano dados. La recta dada y esta última recta calculada, define el ángulo que forman la recta y el plano dados.

Para calcular el ángulo que forma una recta a y un plano  beta (en color azul la recta y verde el plano), se calcula primero la intersección de la recta con el plano, para ello pasamos un plano cualquiera alfa por la recta y este corta al plano según la recta AF. Está recta corta a la recta dada a en el punto G.
Por un punto cualquiera H de la recta dada a  hacemos una recta perpendicular al plano dado beta. Esta recta por ser perpendicular tendrá su punto límite en el antipolo L’i del plano. Calculamos la intersección de esta recta i con el plano beta, como esta recta corta a la dada a tenemos que ambas forman un plano definido por el punto límite de ambas L’i L’a por donde pasa la recta límite del plano y la traza que es paralela a esta recta y pasa por la traza Ta de la recta a, a este plano le llamamos épsilon.
El plano épsilon corta al plano beta según la recta j y cómo contiene a la recta i tenemos que ésta recta corta al plano beta según el punto M.
El ángulo que forman las rectas MG y HG es el ángulo que forman la recta y el plano dados.
Como estas dos rectas a j pertenecen al plano épsilon, abatimos el punto de vista respecto a la recta límite de este plano haciendo centro en el punto K y tomando como radio la distancia KL obteniéndolo en la intersección de este arco con la recta PK.
El punto de vista abatido V (en color rojo) lo unimos con los puntos límites de las rectas azul y amarilla (a y j, respectivamente). El ángulo que forman estas dos líneas es el ángulo que forman la recta y el plano en el espacio.

Distancias

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Distancia de un punto A a un plano alfa





Dado un punto A perteneciente a una recta d y un plano exterior alfa, para determinar la distancia del punto al plano hacemos una recta m perpendicular al plano desde el punto A. Esta recta m corta a la anterior d en el punto dado A por lo que ambas determinan un plano beta que corta al plano dado alfa en la recta t. Donde esta recta t corta a la perpendicular m al plano tenemos el punto H. La distancia del punto A al punto H es la distancia entre A y el plano.
Tenemos la recta de color rojo d con el punto A por el que hacemos la recta m perpendicular al plano, esto quiere decir que el punto límite de la recta se corresponde en la antipolaridad respecto al círculo de distancia con la recta límite del plano.
Dibujamos a continuación el plano beta que definen las dos rectas d m, este plano tendrá su recta límite incidente en los dos puntos de fuga Fd -L’m de las dos rectas que se cortan. Para obtener la traza de la recta m pasaremos una recta paralela a la limite por la traza de la recta d, obteniendo en la intersección con la recta m la traza Tm.
Calculamos a continuación la intersección t del plano que pasa por las dos rectas (beta) y el plano dado al (alfa). Esta recta intersección corta a la perpendicular m al plano en el punto H. La distancia entre los dos puntos AH es la distancia del punto al plano.
A continuación abatimos el punto de vista L respecto al plano beta y lo unimos con el punto límite L’m de la recta m, haciendo una recta paralela por la traza Tm de la recta m y alineando los puntos A H con el punto de vista L obtenemos la verdadera medida de la distancia entre ambos puntos que es H’ M’.










Distancia entre 2 rectas paralelas








Tenemos dos rectas paralelas, una en color rojo y otro en color verde. Como ambas son paralelas tienen el punto de fuga en común. Construimos el plano (en color marrón) que contiene ambas rectas y abatimos el punto de vista respecto a este plano. Para ello hacemos una recta perpendicular AD a la recta límite del plano por el punto principal A y otra recta perpendicular C a ésta última por el mismo  punto A.
Haciendo centro en el punto D con la distancia DC hacemos un arco hasta que corta a la perpendicular a la recta límite por  A en el punto E, punto de vista abatido.
Poniendo el punto E con el punto de fuga de ambas rectas y trazando por las trazas de las mismas (puntos de intersección de las rectas con la traza del plano que las contiene), rectas paralelas a la dirección que determina el punto de fuga de la rectas y el punto de vista Fa-E, obtenemos las rectas abatidas a’ b’ con su distancia FG en verdadera magnitud, que es la perpendicular común a ambas.


Distancia entre dos puntos






Para calcular la distancia entre dos puntos  AB pertenecientes respectivamente a una recta roja a y a otra azul b, calculamos el plano que contiene a la recta que pasa por los dos puntos AB, por la recta dada a y por una recta paralela a ésta por B. (Es un ejercicio resuelto en el apartado de incidencias).
Una vez que dibujamos el plano (de color marrón) unimos el punto de vista v abatido con el punto límite L’d  de la recta d que contiene a los dos puntos. Pasando por la traza de la recta una paralela a esta última dirección V-L’d tenemos al alinear los puntos AB con el punto de vista abatido, la verdadera longitud entre ambos puntos, que no es otra que la distancia A’-B’.





Distancia entre planos paralelos







Si los planos son paralelos tienen trazas distintas y la recta límite común. Si unimos el punto de vista abatido G con la intersección F de la perpendicular a la recta límite por el punto principal D, tenemos la dirección de los dos planos abatida y también el ángulo que forman respecto al plano del cuadro, que es el ángulo DF-FG.
Si trazamos por la intersección de esta línea FD con las trazas de los planos (en color verde y naranja) líneas paralelas a la dirección FG tenemos que la perpendicular común KL es la distancia entre ambos planos.




Distancia entre una recta m y un plano beta (es DI)




Para calcular la distancia de una recta a un plano operamos como cuando calculamos la distancia de un punto a un plano, la resolución del ejercicio consiste en tomar un punto de la recta y hacer una perpendicular al plano, tras calcular la intersección con el plano tenemos otro punto, la distancia entre los 2 puntos es la distancia de la recta al plano.
En el ejercicio tenemos como elementos dados el plano beta y la recta a. Tomamos un punto D de la recta a y hacemos por él una recta perpendicular al plano dado, ambas tendrán los elementos límites incidentes: el punto límite de la recta estará sobre la recta límite del plano. Tenemos de esta forma una nueva recta m perpendicular al plano de la que queremos saber su intersección con el plano dado, para ello pasamos un plano por ambas rectas: uniendo los elementos límites de ambas rectas y trazando por la traza de la recta a una recta paralela obtenemos la dirección de la traza del plano que contiene a ambas rectas y que corta a la recta m en un punto Tm que es la traza de esta recta. Ambas rectas pasan en consecuencia por el plano azul denominado alfa. Este plano corta al plano dado según la recta naranja h. Tenemos que esta recta corta a la perpendicular m al plano  beta en el punto I. la distancia entre el punto escogido de la recta d y la última intersección calculada I es la distancia entre la recta y el plano.
A continuación hacemos el abatimiento de la recta uniendo el punto límite de la recta m con el punto de vista abatido y trazando por la traza de la recta una paralela a esta dirección obteniendo así la verdadera magnitud de la distancia DI que es en realidad la distancia D’I’.









Distancia entre dos rectas a b que se cruzan -es H I.






Para calcular la distancia entre dos rectas que se cruzan a b,  hacemos un plano paralelo alfa a una de ellas a por la otra recta b. Construimos desde un punto cualquiera C de la primera  una recta perpendicular m al último plano construido alfa.
Esta recta perpendicular corta al plano en un punto G por el que trazamos una recta paralela s a la recta a que corta a la recta b en el punto H. Construimos por H una paralela a la recta m hasta que corta a la recta a en el punto I. La distancia entre los dos puntos IH es la perpendicular común y longitud real entre las dos rectas que se cruzan.